Corso di Laboratorio I
Metodi di misura e analisi dati


Corso A - Gruppo V

Alemanno Roberto
Cavallina Andrea
Grimaldi Federico
Goria Stefano
Lucco Borlera Yuri

Esperienza 2 - Viscosimetro

Scopo dell'esperienza

Scopo dell'esperienza è la misura del coefficiente di viscosità cinematica del liquido contenuto nel capillare mediante la legge   v = C t [cstokes] dove C è la costante del viscosimetro (C = 1.2375 [cstokes/ s]) e t è il valore medio dei tempi misurati da ogni studente.

Descrizione dell'apparato, esecuzione della misura ed errori

Durante l'esperienza verranno utilizzati i seguenti strumenti: viscosimetro, camera di decompressione con rubinetto a tre vie, pompa per vuoto, cronometro digitale centesimale, termometro.
Il viscosimetro è costituito da un recipiente contenente un bagno d'acqua; questo viene mantenuto ad una temperatura costante da una resistenza e da una piccola elica che rimescola il bagno (per una uniforme distribuzione del calore). All'interno del bagno è immerso un capilllare ad U. In un braccio si apre un'ampolla contenente il liquido mentre sull'altro vi sono due dilatazioni che permettono, rallentando la velocità di risalita e la discesa del liquido, una maggiore precisione dell'esperimento. Infatti in fase di aspirazione evitano che, per errore, il liquido possa fuoriuscire dal capillare stesso (che è collegato con l'esterno) mentre, in un secondo momento, garantiscono un certo lasso di tempo dall'inizio della discesa al passaggio sulla prima tacca (utile per un corretto svolgimento delle misure). Bisogna agire con cura nell'operare con il rubinetto: il liquido non deve salire troppo velocemente poichè così facendo potrebbero nascere delle correnti vorticose. Tali correnti sono dannose ai fini dell'esperimento perchè possono produrre la nascita di bolle e anche dal punto di vista teorico viene meno l'ipotesi secondo cui il moto del liquido all'interno del capillare sia di tipo laminare.  Questa tacca e la seconda sono posizionate, all'incirca, alle estremità inferiori delle due dilatazioni e costituiscono i due istanti, iniziale e finale, del cronometraggio del tempo di dicesa del liquido.
Il capillare, come già detto, è collegato con l'esterno del viscosimetro. Alla sua estremità viene attaccato un tubo che lo collega ad un rubinetto a tre vie. Questo mette in comunicazione capillare, ambiente esterno e camera di decompressione secondo il seguente schema: se la manopola è in posizione orizzontale sono collegati capillare e ambiente esterno, con una rotazione in senso orario di 90° si collegano capillare e camera di decompressione.
Il viscosimetro è anche dotato di un termometro ventesimale che mette in azione la resistenza qualora rilevi una variazione nella temperatura del bagno dell'ordine del decimo di grado. Per ottenere il vuoto nella camera di decompressione si utilizza una pompa di aspirazione pneumatica. Vengono infine utilizzati un termometro (con sensibilità di 0.5°C), immerso nel bagno del viscosimetro, e cinque cronometri (uno per ogni studente) centesimali, con una precisione, cioè, del centesimo di secondo.
Per prima cosa viene rilevata la temperatura del bagno . In seguito si procede allo studio del funzionamento del rubinetto a tre vie. Per creare il vuoto nella camera di decompressione si mettono in comunicazione capillare ed ambiente esterno attivando, poi, la pompa per 5/6 secondi. A questo punto, ruotando delicatamente il rubinetto, si collegano capillare e camera per permettere al liquido di risalire fin sopra la seconda tacca. Riportando il rubinetto nella posizione "capillare-ambiente  esterno" si permette la discesa del fluido.Ogni volta che il vuoto risulta insufficiente per l'aspirazione del liquido si ripete l'operazione di decompressione.

[Graphics:HTMLFiles/index_1.gif]

Per effettuare le misura si fanno partire i cronometri quando il liquido incontra la prima tacca e si fermano quando raggiunge la seconda. Questa operazione è svolta da ogni studente indipendentemente e viene ripetuta, da ognuno, 100 volte. Ogni studente dovrebbe mantenere la stessa posizione per tutta la durata dell'esperienza: in questo modo l'errore di parallasse, sistematico e non eliminabile, rimane il medesimo per ogni singola misura. A turno ogni membro del gruppo agisce sul rubinetto (che può essere spostato).

[Graphics:HTMLFiles/index_2.gif]

Bisogna notare che il liquido di cui si vuole calcolare la viscosità è un misuglio derivante dall'unione di più liquidi. Non esiste pertanto un valore accettato con il quale confrontare il risultato da noi ottenuto. Potremo solamente confrontare tra loro i risultati ottenuti dai singoli studenti e verificarne la compatibilità.

Raccolta dati

Nell'esperienza ogni studente ha raccolto un proprio campione di misure che dovrà essere analizzato singolarmente: a seconda della posizione rsipetto a cui la misura viene rilevata è legato un certo errore di parallasse. Mescolando tutte le misure, verrebbbero mischiate misure soggette ad errori differenti e ciò renderebbe la nostra misura errata. Per analizzare la consistenza della nostra esperienza possiamo però confronatre i dati che derivano dall'analisi di ogni singolo campione.  Sono di seguito riportate le misure raccolte da ogni studente. Viene anche misurata la temperatura del bagno con relativa incertezza legata alla precisione del termometro in scala centigrada.

Temperatura del bagno
(valore misurato della temperatura) = (41±0.5)°C

Studente: Yuri Lucco Borlera

Studente: Andrea Cavallina

Studente: Stefano Goria

Studente: Roberto Alemanno

Studente: Federico Grimaldi

Analisi dati

Vengono ora analizzati separatamente i dati raccolti da ogni studente. Per ogni campione viene utilizzata la stessa procedura statistica. Facendo uso del software Mathematica 4.0 vengono calcolati: il numero di individui di ogni popolazione (100), il valore massimo e il valore minimo della popolazione, la media empirica, la varianza, la deviazione standard e la deviazione standard della media. A tal punto di può concludere, campione per campione, quale sia valore attendibile della misura che abbiamo effettuato. Per  l'eventuale rigetto dei dati si è convenuto di rigettare i valori esterni all'intervallo (-3σ,3σ). Nonostante tale metodo non sia così preciso, il criterio di Chauvenet si dimostra in tal caso poco efficace perchè vi sarebbero mediamente più di 5-6 dati da rigettare all'interno di ogni gruppo. Seguendo il criterio così fissato, non è stato scartato alcun dato. Tutte le seguenti analisi sono dunque eseguite dopo aver effettuato il controllo sui dati da eliminare. Dopo il calcolo dei parametri si passa all'elaborazione grafica dei dati: viene costruito un istogramma sulle cui ordinate abbiamo i valori Δt misurati precisi al secondo e sulle cui ordinate vi è la frequenza assoluta relativa ai dati contenuti in ciascuna classe. Per l'ampiezza di ogni classe si è convenuto di scegliere il valore 0.015 s in modo che fosse possibile al lettore confrontare visivamente i vari dati e le loro caratteristiche. Dopo tale operazione si passa alla costruzione della curva gaussiana che viene sovrapposta all'istrogramma. L'analisi dei singoli campioni termina con il test del χ^2per verificare se i valori individuati si distribuiscono normalmente in modo effettivo. Conclusa tale parte si passa alla comparazione

Studente : Yuri Lucco Borlera

Tabella delle frequenze

n = Length[dati1]

100

Max[dati1]

19.99

Min[dati1]

19.87

Mean[dati1]

19.9271

Variance[dati1]

0.000796556

StandardDeviation[dati1]

0.0282233

s1 = 0.03

m1 = 19.93

0.03

19.93

sm1 = s1/n^(1/2)

0.003

sm1 = 0.003

0.003

Il valore dell'intervallo di tempo misurato è pari a

(valore misurato di Δt)   = (19.93 ± 0.03)s

amp = 0.015

0.015

freq = BinCounts[dati1, {19.86, 19.99, amp}]

{3, 4, 12, 17, 25, 19, 10, 5, 5}

midpoints = Table[x , {x, Min[dati1] + 0.5 * amp, Max[dati1] + 0.5 * amp, amp}]

{19.8775, 19.8925, 19.9075, 19.9225, 19.9375, 19.9525, 19.9675, 19.9825}

bin = Table[amp, {i, 9}]

{0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015}

lista = Table[{midpoints[[i]], freq[[i]], bin[[i]]}, {i, 1, 8}]

{{19.8775, 3, 0.015}, {19.8925, 4, 0.015}, {19.9075, 12, 0.015}, {19.9225, 17, 0.015}, {19.9375, 25, 0.015}, {19.9525, 19, 0.015}, {19.9675, 10, 0.015}, {19.9825, 5, 0.015}}

isto1 = GeneralizedBarChart[lista, PlotRange-> {{19.84, 20.03}, {0, 35}}, AxesOrigin-> {19.84, 0}]

[Graphics:HTMLFiles/index_49.gif]

-Graphics -

ndist1 = NormalDistribution[m1, s1]

NormalDistribution[19.93, 0.03]

fdp1 = PDF[ndist1, x] * n * amp

19.9471 ^(-555.556 (-19.93 + x)^2)

gauss1 = Plot[fdp1, {x, 19.8, 20.2}, PlotRange→ {0, 40}, AxesOrigin→ {19.8, 0}] ;

VM = ParametricPlot[{m1, y}, {y, 0, 20}, DisplayFunction→Identity]

gauss1 = Plot[fdp, {x, Min[dati], Max[dati]}, DisplayFunction→Identity]

Show[isto1, gauss1, VM, DisplayFunction→$DisplayFunction]

[Graphics:HTMLFiles/index_59.gif]

-Graphics -

Test del χ^2

Eseguiamo ora il test del χ^2per vedere se i dati raccolti si distribuiscono secondo i parametri della distribuzione normale. Consideriamo quattro intervalli definiti come segue e contiamo i valori O_kche si presentano in tali intervalli confrontandoli con E_k, ossia i valori teorici attesi probabilisticamente secondo la distribuzione gaussiana. Con P_kviene indicata la probabilità percentuale. I valori dispari non completamente inclusi in un intervallo sono stati suddivisi in due intervalli adiacenti ponendo il numero di conteggi maggiore nell'intervallo successivo. Esiste un solo grado di libertà: 4 intervalli meno tre vincoli (valor medio, deviazione standard e numero di conteggi n)

χ_o^2 = ∑ (O_k - E_k)^2/E_k = 0 + 25/34 + 16/34 + 1/16 = 345/272 = 1.27χ^2 = 1/(4 - 3) ∑ (O_k - E_k)^2/E_k = ∑ (O_k - E_k)^2/E_k = 1.27<4

La probabilità di avere un valore di χ^2superiore a  χ_o^2 è pari al 27% circa. Dunque, fissato un livello di confidenza del 5%, è  probabile che i nostri dati siano distribuiti gaussianamente.

Studente : Andrea Cavallina

Tabella delle frequenze

n = Length[dati2]

100

Max[dati2]

20.01

Min[dati2]

19.86

Mean[dati2]

19.9312

Variance[dati2]

0.000824808

StandardDeviation[dati2]

0.0287195

s2 = 0.03

m2 = 19.93

0.03

19.93

sm2 = s2/n^(1/2)

0.003

sm2 = 0.003

0.003

Il valore dell'intervallo di tempo misurato è pari a

(valore misurato di Δt)   = (19.93 ± 0.03)s

amp = 0.015

0.015

freq = BinCounts[dati2, {19.86, 20.01, amp}]

{1, 3, 11, 13, 29, 20, 9, 7, 5, 0, 1}

midpoints2 = Table[x , {x, Min[dati2] + 0.5 * amp, Max[dati2] + 0.5 * amp, amp}]

{19.8675, 19.8825, 19.8975, 19.9125, 19.9275, 19.9425, 19.9575, 19.9725, 19.9875, 20.0025, 20.0175}

bin = Table[amp, {i, 13}]

{0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015}

lista2 = Table[{midpoints2[[i]], freq[[i]], bin[[i]]}, {i, 1, 11}]

isto2 = GeneralizedBarChart[lista2, PlotRange-> {{19.85, 20.03}, {0, 35}}, AxesOrigin-> {19.85, 0}]

[Graphics:HTMLFiles/index_106.gif]

-Graphics -

ndist2 = NormalDistribution[m2, s2]

NormalDistribution[19.93, 0.03]

fdp2 = PDF[ndist2, x] * n * amp

19.9471 ^(-555.556 (-19.93 + x)^2)

gauss2 = Plot[fdp2, {x, 19.8, 20.2}, PlotRange→ {0, 40}, AxesOrigin→ {19.79, 0}] ;

VM = ParametricPlot[{m2, y}, {y, 0, 20}, DisplayFunction→Identity]

-Graphics -

gauss2 = Plot[fdp2, {x, Min[dati2], Max[dati2]}, DisplayFunction→Identity]

-Graphics -

Show[isto2, gauss2, VM, DisplayFunction→$DisplayFunction]

[Graphics:HTMLFiles/index_118.gif]

-Graphics -

Test del χ^2

Eseguiamo ora il test del χ^2per vedere se i dati raccolti si distribuiscono secondo i parametri della distribuzione normale. Consideriamo quattro intervalli definiti come segue e contiamo i valori O_kche si presentano in tali intervalli confrontandoli con E_k, ossia i valori teorici attesi probabilisticamente secondo la distribuzione gaussiana. Con P_kviene indicata la probabilità percentuale. I valori dispari non completamente inclusi in un intervallo sono stati suddivisi in due intervalli adiacenti ponendo il numero di conteggi maggiore nell'intervallo successivo. Esiste un solo grado di libertà: 4 intervalli meno tre vincoli (valor medio, deviazione standard e numero di conteggi n)

χ_o^2 = ∑ (O_k - E_k)^2/E_k = 4/16 + 0 + 0 + 4/16 = 1/2 = 0.5χ^2 = 1/(4 - 3) ∑ (O_k - E_k)^2/E_k = ∑ (O_k - E_k)^2/E_k = 0.5<4

La probabilità di avere un valore di χ^2superiore a  χ_o^2 è pari al 48% circa. Dunque, fissato un livello di confidenza del 5%, è molto  probabile che i dati siano distribuiti gaussianamente.

Stefano Goria

Tabella delle frequenze

n = Length[dati3]

100

Max[dati3]

19.99

Min[dati3]

19.83

Mean[dati3]

19.9122

Variance[dati3]

0.000873899

StandardDeviation[dati3]

0.0295618

s3 = 0.03

m3 = 19.91

0.03

19.91

sm3 = s3/n^(1/2)

0.003

sm3 = 0.003

0.003

Il valore dell'intervallo di tempo misurato è pari a

(valore misurato di Δt)   = (19.91 ± 0.03)s

amp = 0.015

0.015

freq = BinCounts[dati3, {19.82, 19.99, amp}]

{1, 0, 4, 11, 11, 25, 16, 13, 12, 5, 1, 1}

midpoints = Table[x , {x, Min[dati3] + 0.5 * amp, Max[dati3] + 0.5 * amp, amp}]

{19.8375, 19.8525, 19.8675, 19.8825, 19.8975, 19.9125, 19.9275, 19.9425, 19.9575, 19.9725, 19.9875}

bin = Table[amp, {i, 11}]

{0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015}

lista = Table[{midpoints[[i]], freq[[i]], bin[[i]]}, {i, 1, 11}]

isto3 = GeneralizedBarChart[lista, PlotRange-> {{19.82, 20.03}, {0, 35}}, AxesOrigin-> {19.82, 0}]

[Graphics:HTMLFiles/index_165.gif]

-Graphics -

ndist3 = NormalDistribution[m3, s3]

NormalDistribution[19.91, 0.03]

fdp3 = PDF[ndist3, x] * n * amp

19.9471 ^(-555.556 (-19.91 + x)^2)

gauss3 = Plot[fdp3, {x, 19.8, 20.2}, PlotRange→ {0, 40}, AxesOrigin→ {19.79, 0}] ;

VM = ParametricPlot[{m3, y}, {y, 0, 20}, DisplayFunction→Identity]

gauss1 = Plot[fdp3, {x, Min[dati3], Max[dati3]}, DisplayFunction→Identity]

Show[isto3, gauss3, VM, DisplayFunction→$DisplayFunction]

[Graphics:HTMLFiles/index_175.gif]

-Graphics -

Test del χ^2

Eseguiamo ora il test del χ^2per vedere se i dati raccolti si distribuiscono secondo i parametri della distribuzione normale. Consideriamo quattro intervalli definiti come segue e contiamo i valori O_kche si presentano in tali intervalli confrontandoli con E_k, ossia i valori teorici attesi probabilisticamente secondo la distribuzione gaussiana. Con P_kviene indicata la probabilità percentuale. I valori dispari non completamente inclusi in un intervallo sono stati suddivisi in due intervalli adiacenti ponendo il numero di conteggi maggiore nell'intervallo successivo. Esiste un solo grado di libertà: 4 intervalli meno tre vincoli (valor medio, deviazione standard e numero di conteggi n)

χ_o^2 = ∑ (O_k - E_k)^2/E_k = 0 + 9/34 + 9/34 + 9/16 = 297/272 = 1.09χ^2 = 1/(4 - 3) ∑ (O_k - E_k)^2/E_k = ∑ (O_k - E_k)^2/E_k = 1.09<4

La probabilità di avere un valore di χ^2superiore a  χ_o^2 è pari al 14% circa. Dunque, fissato un livello di confidenza del 5%, è  probabile che i nostri dati siano distribuiti gaussianamente.

Roberto Alemanno

Tabella delle frequenze

n = Length[dati4]

100

Max[dati4]

20.

Min[dati4]

19.84

Mean[dati4]

19.9284

Variance[dati4]

0.000872162

StandardDeviation[dati4]

0.0295324

sm4 = s4/n^(1/2)

0.003

sm4 = 0.001

0.001

s4 = 0.03

m4 = 19.93

0.03

19.93

Il valore dell'intervallo di tempo misurato è pari a

(valore misurato di Δt)   = (19.93 ± 0.03)s

amp = 0.015

0.015

freq = BinCounts[dati4, {19.84, 20., amp}]

{1, 0, 5, 13, 13, 22, 16, 13, 11, 4, 1}

midpoints = Table[x , {x, 19.84 + 0.5 * amp, 20. + 0.5 * amp, amp}]

{19.8475, 19.8625, 19.8775, 19.8925, 19.9075, 19.9225, 19.9375, 19.9525, 19.9675, 19.9825, 19.9975}

bin = Table[amp, {i, 20}]

{0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015}

lista = Table[{midpoints[[i]], freq[[i]], bin[[i]]}, {i, 1, 11}]

isto4 = GeneralizedBarChart[lista, PlotRange-> {{19.82, 20.03}, {0, 30}}, AxesOrigin-> {19.82, 0}]

[Graphics:HTMLFiles/index_222.gif]

-Graphics -

ndist4 = NormalDistribution[m4, s4]

NormalDistribution[19.93, 0.03]

fdp4 = PDF[ndist4, x] * n * amp

19.9471 ^(-555.556 (-19.93 + x)^2)

gauss4 = Plot[fdp4, {x, 19.8, 20.2}, PlotRange→ {0, 40}, AxesOrigin→ {19.8, 0}] ;

VM = ParametricPlot[{m4, y}, {y, 0, 17.7}, DisplayFunction→Identity]

gauss4 = Plot[fdp4, {x, Min[dati4], Max[dati4]}, DisplayFunction→Identity]

Show[isto4, gauss4, VM, DisplayFunction→$DisplayFunction]

[Graphics:HTMLFiles/index_232.gif]

-Graphics -

Test del χ^2

Eseguiamo ora il test del χ^2per vedere se i dati raccolti si distribuiscono secondo i parametri della distribuzione normale. Consideriamo quattro intervalli definiti come segue e contiamo i valori O_kche si presentano in tali intervalli confrontandoli con E_k, ossia i valori teorici attesi probabilisticamente secondo la distribuzione gaussiana. Con P_kviene indicata la probabilità percentuale. I valori dispari non completamente inclusi in un intervallo sono stati suddivisi in due intervalli adiacenti ponendo il numero di conteggi maggiore nell'intervallo successivo. Esiste un solo grado di libertà: 4 intervalli meno tre vincoli (valor medio, deviazione standard e numero di conteggi n)

χ_o^2 = ∑ (O_k - E_k)^2/E_k = 9/16 + 1/34 + 9/34 + 16/16 = 505/272 = 1.86χ^2 = 1/(4 - 3) ∑ (O_k - E_k)^2/E_k = ∑ (O_k - E_k)^2/E_k = 1.86<4

La probabilità di avere un valore di χ^2superiore a  χ_o^2 è pari al 17% circa. Dunque, fissato un livello di confidenza del 5%, è  probabile che i nostri dati siano distribuiti gaussianamente.

Federico Grimaldi

Tabella delle frequenze

n = Length[dati5]

100

Max[dati5]

20.

Min[dati5]

19.83

Mean[dati5]

19.9191

Variance[dati5]

0.00109716

StandardDeviation[dati5]

0.0331234

s5 = 0.03

m5 = 19.92

0.03

19.92

sm5 = s5/n^(1/2)

0.003

sm5 = 0.003

0.003

Il valore dell'intervallo di tempo misurato è pari a

(valore misurato di Δt)   = (19.92 ± 0.03)s

amp = 0.015

0.015

freq = BinCounts[dati5, {19.83, 20., amp}]

{0, 2, 5, 8, 14, 15, 24, 14, 10, 2, 2, 3}

midpoints = Table[x , {x, 19.83 + 0.5 * amp, 20. + 0.5 * amp, amp}]

{19.8375, 19.8525, 19.8675, 19.8825, 19.8975, 19.9125, 19.9275, 19.9425, 19.9575, 19.9725, 19.9875, 20.0025}

bin = Table[amp, {i, 18}]

{0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015, 0.015}

lista = Table[{midpoints[[i]], freq[[i]], bin[[i]]}, {i, 1, 10}]

isto5 = GeneralizedBarChart[lista, PlotRange-> {{19.8, 20.03}, {0, 35}}, AxesOrigin-> {19.8, 0}]

[Graphics:HTMLFiles/index_279.gif]

-Graphics -

ndist5 = NormalDistribution[m5, s5]

NormalDistribution[19.92, 0.03]

fdp5 = PDF[ndist5, x] * n * amp

19.9471 ^(-555.556 (-19.92 + x)^2)

gauss5 = Plot[fdp5, {x, 19.8, 20.2}, PlotRange→ {0, 40}, AxesOrigin→ {19.8, 0}] ;

VM = ParametricPlot[{m5, y}, {y, 0, 22}, DisplayFunction→Identity]

gauss5 = Plot[fdp5, {x, Min[dati5], Max[dati5]}, DisplayFunction→Identity]

Show[isto5, gauss5, VM, DisplayFunction→$DisplayFunction]

[Graphics:HTMLFiles/index_289.gif]

Test del χ^2

Eseguiamo ora il test del χ^2per vedere se i dati raccolti si distribuiscono secondo i parametri della distribuzione normale. Consideriamo quattro intervalli definiti come segue e contiamo i valori O_kche si presentano in tali intervalli confrontandoli con E_k, ossia i valori teorici attesi probabilisticamente secondo la distribuzione gaussiana. Con P_kviene indicata la probabilità percentuale. I valori dispari non completamente inclusi in un intervallo sono stati suddivisi in due intervalli adiacenti ponendo il numero di conteggi maggiore nell'intervallo successivo. Esiste un solo grado di libertà: 4 intervalli meno tre vincoli (valor medio, deviazione standard e numero di conteggi n)

χ_o^2 = ∑ (O_k - E_k)^2/E_k = 4/16 + 9/34 + 9/34 + 9/16 = 365/272 = 1.34χ^2 = 1/(4 - 3) ∑ (O_k - E_k)^2/E_k = ∑ (O_k - E_k)^2/E_k = 1.34

La probabilità di avere un valore di χ^2superiore a  χ_o^2 è pari al 25% circa. Dunque, fissato un livello di confidenza del 5%, è  probabile che i nostri dati siano distribuiti gaussianamente.

Calcolo della viscosità


Si passa ora al calcolo della viscosità del liquido studiato. Ogni studente ha individuato un valor medio empirico dell'intervallo di tempo impiegato dal liquido per passare da una tacca all'altra del viscosimetro. Mediante la legge v = C t (dove v è la viscosità del fluido, t è l'intervallo di tempo medio individuato da ogni studente e C è la costante del viscosimetro pari a C=1.2375 cstokes/s) possiamo calcolare la viscosità e propagare l'errore. La funzione è lineare dunque in ogni caso sperimentale il valore medio della viscosità sarà dato dall'intervallo medio di tempo per la costante c (Overscript[v, _] = C Overscript[x, _] ) mentre l'errore viene propagato secondo la legge s_x = C s_x  . Vengono di seguito riepilogati in tabella  i risultati ottenuti dagli studenti e le relative viscosità arrotondate alla seconda cifra decimale


Esiste una certa discrepanza tra i valori ottenuti. Vediamo mediante un grafico se la discrepanza ottenuta è significatività o meno. Poniamo sull'asse delle ordinate una scala delle viscosità con i valori medi e  le relative incertezze e sull'asse delle ascisse il campione rispettivo.

datitot = {{1, 24.66}, {2, 24.66}, {3, 24.64}, {4, 24.66}, {5, 24.65}}

{{1, 24.66}, {2, 24.66}, {3, 24.64}, {4, 24.66}, {5, 24.65}}

datitoter := {{{1, 24.66}, ErrorBar[0, 0.04]}, {{2, 24.66}, ErrorBar[0, 0.04]}, {{3, 24.64}, ErrorBar[0, 0.04]}, {{4, 24.66}, ErrorBar[0, 0.04]}, {{5, 24.65}, ErrorBar[0, 0.04]}}

tot = MultipleListPlot[datitoter, PlotRange→ {{0, 5.5}, {24.58, 24.72}}] ;

Show[tot, ColorOutput→GrayLevel, AxesOrigin-> {0, 24.58}, PlotRange→ {{0, 5.5}, {24.58, 24.72}}]

[Graphics:HTMLFiles/index_311.gif]

-Graphics -

Come si può osservare i valori sono consistenti. Ora eseguiamo un test per verificare realmente questa proprietà

Test

Eseguiamo un test per verificare la reale compatibilità delle conclusioni raggiunte da ciascuno studente. Dal momento che abbiamo riscontrato tre casi sperimentali (infatti tre studenti su cinque hanno ottenuto per arrotondamento il medesimo risultato) verifichiamo la compatibilità reciproca di tali situazioni assumendo come ipotesi nulla che i valori appartengano alla stessa popolazione. L'ipotesi alternativa sostiene la tesi contraria, ossia che i valori appartengano a popolazioni diverse. Abbiamo a che fare con un test ad una coda . Riepiloghiamo i risultati ottenuti con relativa media e deviazione standard. I test da eseguire sono dunque tre. Fissiamo un livello di confidenza dell'5%. (NB n=100 è il numero di valori rilevati in ogni campione)

test 1 (caso sperimentale 1 - caso sperimentale2)
    H_0 :       μ_1 = μ_2
    H_0 :       μ_1 < μ_2
    
     σ_ (Overscript[x, _] _2 - Overscript[x, _] _1)=(σ_1^2/n + σ_2^2/n)^(1/2) = 0.06 cstokes                     z=(Overscript[x, _] _2 - Overscript[x, _] _1)/σ_ (Overscript[x, _] _2 - Overscript[x, _] _1)= 0.17         z_0= 1.65           z  <<  z_0     
    La differenza tra i due valori medi è casuale. Accettiamo l'ipotesi nulla

test 2 (caso sperimentale 1 - caso sperimentale3)
    H_0 :       μ_1 = μ_3
    H_0 :       μ_1 < μ_3
    
     σ_ (Overscript[x, _] _3 - Overscript[x, _] _1)=(σ_1^2/n + σ_3^2/n)^(1/2) = 0.06 cstokes                     z=(Overscript[x, _] _3 - Overscript[x, _] _1)/σ_ (Overscript[x, _] _3 - Overscript[x, _] _1)= 0.34         z_0= 1.65           z  <<  z_0     
    La differenza tra i due valori medi è casuale. Accettiamo l'ipotesi nulla

test 3 (caso sperimentale 2 - caso sperimentale3)
    H_0 :       μ_2 = μ_3
    H_0 :       μ_2 < μ_3
    
     σ_ (Overscript[x, _] _3 - Overscript[x, _] _2)=(σ_2^2/n + σ_3^2/n)^(1/2) = 0.06 cstokes                     z=(Overscript[x, _] _3 - Overscript[x, _] _2)/σ_ (Overscript[x, _] _3 - Overscript[x, _] _2)= 0.17         z_0= 1.65           z  <<  z_0     
    La differenza tra i due valori medi è casuale. Accettiamo l'ipotesi nulla


La differenza tra i valori medi sperimenatli è effettivamente casuale. Possiamo lecitamente proseguire con la media pesata dei valori per ottenere il valore finale della viscosità del liquido, che somma i contributi dei singoli studenti. La media pesata in questo caso è banale in quanto i tre valori hanno medisima deviazione standard e dunque medesima varianza, dunque la media pesata si riduce ad una semplice media (NB. N=5 è il numero di dati di cui calcoliamo il valor medio). calcoliamo anche l'incertezza pesata

datifin = {24.64, 24.65, 24.66, 24.66, 24.66} ;

Mean[datifin]

24.654

Overscript[v, _] = (∑w_ix_i)/(∑w_i) = (∑x_i)/N = (24.64 + 24.65 + 24.66 + 24.66 + 24.66)/5 = 24.65 cstokes

σ_v = 1/(∑w_i)^(1/2) = 0.02 cstokes

Il valore ottenuto dalla media pesta che rappresenta il risultato complessivo della ricerca della viscosità del liquido è

                        (valore misurato di v)  =  (24.65 ± 0.02) cstokes

Conclusione e commenti

Abbiamo condotto la misura del coefficiente di viscosità di un liquido non omogeneo mediante l'uso del viscosimetro. Ogni studente ha raccolto un campione di 100 dati relativi ai tempi di discesa del fluido all'interno di un capillare. L'analisi dei singoli campioni è apparsa soddisfacente in quanto il test del χ^2ha dato esito positivo per ogni gruppo. Abbiamo dunque calcolato la viscosità seguendo la legge lineare v = C t . Successivamente si è passati al confronto dei dati di viscosità ottenuti per giudicarne la compatibilità. Un test ha verificato che le misure raccolte appartengono alla stessa popolazione in quanto la discrepanza tra i valori misurati della viscosità non è significativa. Abbiamo così calcolato la media pesta (operazione resa lecita dal test svolto) e abbiamo individuato il seguente risultato:

               (valore misurato della viscosità del fluido alla temperatura T = (41±0.5)°C)  =  (24.65 ± 0.02) cstokes
                       
Non esistendo un valore accettato con il quale confrontare il risultato ottenuto possiamo solamente concludere che l'esito dell'esperienza è soddisfancente in quanto i risultati dei singoli studenti sono tra loro compatibili.

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